１・・・正しい

普通地方公共団体は、住民の福祉を増進する目的をもってその利用に供するための施設（公の施設）を設置します（地方自治法244条1項）

よって、公の施設とは、地方公共団体が設置する施設のうち、住民の福祉を増進する目的のため、その利用に供する施設をいいます。

つまり、本肢は正しいです。

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２・・・正しい

普通地方公共団体は、法律又はこれに基づく政令に特別の定めがあるものを除くほか、公の施設の設置及びその管理に関する事項は、条例でこれを定めなければなりません（地方自治法244条の2第1項）。

つまり、公の施設の設置およびその管理に関する事項は、条例により定めなければならないので、本肢は正しいです。

３・・・誤り

普通地方公共団体は、公の施設の設置の目的を効果的に達成するため必要があると認めるときは、「条例」の定めるところにより、指定管理者に、当該公の施設の管理を行わせることができます（地方自治法244条の2第3項）。

本肢の「当該普通地方公共団体が指定する法人その他の団体」とは、指定管理者を指します。

指定管理者に行わせるようにするには「条例」の定めが必要であり、「規則」で定めることはできないので誤りです。

４・・・正しい

普通地方公共団体は、指定管理者の指定をしようとするときは、あらかじめ、当該普通地方公共団体の議会の議決を経なければなりません（地方自治法244条の2第6項）。
つまり、指定管理者を指定する場合、議会の決議が必要ということです。

よって、正しいです。

５・・・正しい

普通地方公共団体は、適当と認めるときは、指定管理者にその管理する公の施設の利用に係る料金を当該指定管理者の収入として収受させることができます（地方自治法244条の2第8項）。

つまり、「公の施設の利用料金を、指定管理者の収入にすることができる」と、普通地方公共団体は決めることができます。

よって、正しいです。