１・・・正しい

行政庁の処分につき処分庁以外の行政庁に対して審査請求をすることができる場合において、法律に再調査の請求をすることができる旨の定めがあるときは、当該処分に不服がある者は、処分庁に対して再調査の請求をすることができます。

ただし、当該処分について審査請求をしたときは、再調査の請求をすることはできなくなります（行政不服審査法5条1項）。

よって、本問は正しいです。

２・・・誤り

再調査の請求をしたときは、当該再調査の請求についての決定を経た後でなければ、審査請求をすることができません（行政不服審査法5条2項本文）。

よって、本問のように「再調査の請求と並行して、審査請求をすること」はできないので誤りです。

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３・・・誤り

行政庁の処分につき処分庁以外の行政庁に対して審査請求をすることができる場合において、法律に再調査の請求をすることができる旨の定めがあるときは、当該処分に不服がある者は、処分庁に対して再調査の請求をすることができます（行政不服審査法5条1項本文）。

つまり、再調査の請求ができるのは「処分」があった場合であり、処分がなされていない「不作為」の場合、再調査の請求はできません。

４・・・誤り

【前半部分】　再調査の請求については、審理員に関する規定（行政不服審査法9条１～3項）、行政不服審査会等への諮問に関する規定（行政不服審査法43条）は準用されていません（行政不服審査法61条）。よって、「再調査の請求については、審理員による審理または行政不服審査会等への諮問は必要ない」は正しいです。

【後半部分】　「処分庁は決定を行った後に、行政不服審査会等への報告を行う必要がある」というのは条文にないので、誤りです。

再調査の請求に対する決定を出した後に、行政不服審査会等に報告する必要はありません。

５・・・誤り

審査請求人又は参加人の申立てがあった場合には、審理員は、当該申立てをした者に口頭で審査請求に係る事件に関する意見を述べる機会を与えなければならない。ただし、当該申立人の所在その他の事情により当該意見を述べる機会を与えることが困難であると認められる場合には、意見を述べる機会を与えなくてもよいです（行政不服審査法31条1項）。

この規定は再調査請求にも準用されています（行政不服審査法61条）。

つまり、再調査の請求においては、請求人または参加人が口頭で意見を述べる機会を与えられるのは、請求人または参加人が口頭で意見を述べる機会を与えてください！と申立をした場合です（原則）。

よって、「処分庁がこれを必要と認めた場合に限られる」は、誤りです。