１・・・誤り
非申請型義務付けの訴えは、一定の処分がされないことにより重大な損害を生ずるおそれがあり、かつ、その損害を避けるため他に適当な方法がないときに限り、提起することができます（行政事件訴訟法37条の2の1項）。
この点は正しいです。一方、
申請型義務付けの訴えは、下記要件のいずれかに該当するときに限り、提起することができます（行政事件訴訟法37条の3の1項）。

1. 当該法令に基づく申請又は審査請求に対し相当の期間内に何らの処分又は裁決がされないこと。
2. 当該法令に基づく申請又は審査請求を却下し又は棄却する旨の処分又は裁決がされた場合において、当該処分又は裁決が取り消されるべきものであり、又は無効若しくは不存在であること。

よって、「重大な損害を生ずるおそれ」があるかどうかに関係なく提起できるので誤りです。

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２・・誤り
非申請型義務付けの訴えは、行政庁が一定の処分をすべき旨を命ずることを求めるにつき法律上の利益を有する者に限り、提起することができます（行政事件訴訟法37条の2の3項）。
よって、この点は正しいです。義務付けの訴えは、「申請又は審査請求」をした者に限り、提起することができます（行政事件訴訟法37条の3の2項）。
よって、この点が誤りです。

３・・・誤り
非申請型義務付けの訴えは、一定の処分がされないことにより重大な損害を生ずるおそれがあり、かつ、その損害を避けるため他に適当な方法がないときに限り、提起することができます（行政事件訴訟法37条の2の1項）。
よって、この点は正しいです。一方、申請型義務付けの訴えについては、一定の処分がされないことによる損害を避けるため「他に適当な方法がないとき」に限り提起できる旨の要件はないので、誤りです。

４・・・正しい
義務付けの訴えの提起があった場合において、その義務付けの訴えに係る処分又は裁決がされないことにより生ずる償うことのできない損害を避けるため緊急の必要があり、かつ、本案について理由があるとみえるときは、裁判所は、申立てにより、決定をもって、仮に行政庁がその処分又は裁決をすべき旨を命ずること（仮の義務付け）ができます（行政事件訴訟法37条の5の1項）。
これは、申請型・非申請型どちらも同じルールなので、本肢は正しいです。

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５・・・誤り
非申請型義務付けの訴えについて、

1. 法律上の利益を有する者が訴えを提起し、
2. 一定の処分がされないことにより重大な損害を生ずるおそれがあり、かつ、
3. その損害を避けるため他に適当な方法がないとき
   において、
4. 行政庁がその処分をすべきであることがその処分の根拠となる法令の規定から明らかであると認められ、又は行政庁がその処分をしないことがその裁量権の範囲を超え若しくはその濫用となると認められるとき

は、裁判所は、行政庁がその処分をすべき旨を命ずる判決をします（行政事件訴訟法37条の2の5項）。
1～4をすべて満たす場合に請求が認容（勝訴）となります。

よって、非申請型については、「理由がある」かどうかは関係ないので、誤りです。

申請型義務付けの訴えについて

1. 「相当の期間内に何らの処分又は裁決がされない」もしくは「当該処分又は裁決が取り消されるべきものであり、又は無効若しくは不存在である」こと
   に該当し、さらに
2. 請求に理由があると認められ、かつ、
3. 「行政庁がその処分・裁決をすべきであることが法令の規定から明らかであると認められ」又は「行政庁がその処分若しくは裁決をしないことがその裁量権の範囲を超え若しくはその濫用となると認められる」とき、

裁判所は、その義務付けの訴えに係る処分又は裁決をすべき旨を命ずる判決をします（行政事件訴訟法37条の3の5項）。
1～3をすべて満たす場合に請求が認容（勝訴）となります。

よって、申請型は正しいです。