１・・・誤り
普通地方公共団体は、地域における事務及びその他の事務で法律又はこれに基づく政令により処理することとされるものを処理します（地方自治法2条2項）。
そして、普通地方公共団体は、法令に違反しない限りにおいて上記事務に関し、条例を制定することができます（地方自治法14条1項）。
事務については「法定受託事務」と「自治事務」の2つがありますが、上記条文のから、どちらについても条例制定できることが分かります。
よって、「法定受託事務については条例を制定することができない」という記述は誤りです。

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２・・・誤り
普通地方公共団体は、地域における事務及びその他の事務で法律又はこれに基づく政令により処理することとされるものを処理します（地方自治法2条2項）。
そして、この事務は、「自治事務」と「法定受託事務」の2つがあります（同条8項9項）。
したがって、「機関委任事務」はないので誤りです。
※機関委任事務は、地方分権一括法に基づく地方自治法の改正（平成12年施行）により、廃止された。

３・・・誤り
「自治事務」とは、地方公共団体が処理する事務のうち、法定受託事務以外のものをいいます（地方自治法2条8項）。
「法定受託事務」は、「第1号法定受託事務」と「第2号法定受託事務」の2つがあるのですが
それ以外は、すべて「自治事務」に当たります。
具体的に例示列挙することができないくらい多いため、上記のように、「～以外のもの」としています。

４・・・誤り
法定受託事務には、「第1号法定受託事務」と「第2号法定受託事務」があります（地方自治法2条9項）。

「第1号法定受託事務」は、
法令により国が本来果たすべき役割に係る事務の一部を都道府県、市町村又は特別区が処理することとされた事務です（地方自治法2条9項1号）

「第2号法定受託事務」とは、法令により都道府県が本来果たすべき役割に係る事務の一部を市町村又は特別区が処理することとされた事務です（地方自治法2条9項2号）。

法定受託事務に関する賠償責任は、国、都道府県、市町村又は特別区が責任を負います。
したがって、「都道府県に賠償責任が生じることはない」という記述は誤りです。

ちなみに、国家賠償法3条1項では下記のように規定されています。
「国又は公共団体が損害を賠償する責に任ずる場合において、『「公務員の選任若しくは監督」又は「公の営造物の設置若しくは管理」に当る者』と『「公務員の俸給、給与その他の費用」又は「公の営造物の設置若しくは管理の費用」を負担する者』とが異なるときは、費用を負担する者もまた、その損害を賠償する責に任ずる。」

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５・・・正しい
事務監査請求は、「地方公共団体の事務全般」を対象として、有権者の50分の1の連署によって請求できます（地方自治法75条）。
一方、
住民監査請求は、「財務会計上の違法・不当な行為または不作為」を対象として、一人でも請求できます（地方自治法242条）。そして、監査請求を受けた監査委員は、下記2つについては、監査の対象外としていますが、それ以外は監査の対象です（地方自治法199条2項）。

• 自治事務にあっては労働委員会及び収用委員会の権限に属する事務で政令で定めるもの
• 法定受託事務にあっては国の安全を害するおそれがあることその他の事由により監査委員の監査の対象とすることが適当でないもので政令で定めるもの

よって、自治事務と法定受託事務について、上記を除いては、監査請求や住民監査請求の対象となるので、本肢は正しいです。

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